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解析几何的出现,不仅改变数学,也改变人类的发展

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提 到解析几何,或许很多人只是想到椭圆、双曲线、抛物线等等相关的数学题,但其实它们在生产或生活中都被广泛应用。如太阳灶、雷达天线、探照灯、聚光灯、卫 星天线、射电望远镜等就是利用抛物线的原理制成的,同时还有电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面,灯丝在一个焦点上,影片门在另一个焦点上。

解 析几何的出现,可以说是直接改变数学的发展,使数学各个分支从一盘散沙成为一门更加系统化的学科。如在解析几何出现之前,几何与代数是彼此独立的两个分 支,各自为政,这种各管各的状况严重的抑制了数学的发展。因此,解析几何的出现改变了这种各自为政的局面,使代数与几何的能够架起桥梁,促进数学的发展。

解析几何的出现同时也引入了一系列新的数学概念,特别是将变量引入数学,使数学进入了一个新的发展时期,在数学历史上称为变量数学的时期。

解析几何可以分成平面解析几何与空间解析几何两大类。

在平面解析几何中,除了研究直线的有关性质外,主要是研究圆锥曲线(圆、椭圆、抛物线、双曲线)的有关性质。

在空间解析几何中,除了研究平面、直线有关性质外,主要研究柱面、锥面、旋转曲面。

从 这里我们就可以看出,解析几何使用二维的平面直角坐标系来研究直线、圆、圆锥曲线、摆线、星型线等各种一般平面曲线,或使用三维的空间直角坐标系来研究平 面、球等各种一般空间曲面,同时研究它们的方程,并定义一些图形的概念和参数。因此,解析几何的灵魂是坐标系,正是因为坐标系的出现,第一次使数学两个分 支几何与代数产生联系,数形结合思想的产生,最终导致解析几何的出现。

那么坐标系是如何产生的呢?

时代背景:

欧洲社会进入17世纪以来,在航海、天文、力学、经济、军事、生产等各方面取得重大发展,社会的发展对数学提出更高的要求,这位解析几何的创立提供时代背景。

关键人物:

17世纪时期,大学毕业的笛卡尔子承父业,当了一名律师,之后又去从军。在军旅生涯过程中,保持对数学的热爱。随着笛卡尔对数学研究越来越深入,他开始察觉到几何与代数之间的“隔阂”,如代数总是受法则和公式的限制而缺乏活力,这个问题苦苦折磨着年轻的笛卡尔。

因此,笛卡尔总是在想,能不能有个办法使几何与代数之间产生联系,甚至可以相互转化,只要空下来,他就会默默思考这个问题。

有 次笛卡尔躺在床上抬头望着天花板,一只小小的蜘蛛从墙角慢慢地爬过来,吐丝结网,忙个不停,从东爬到西,从南爬到北,按这样节奏去结一张网,小蜘蛛要走很 多路。此时笛卡尔突然感觉脑中灵光一现,立即起身拿纸和笔,他假设先把蜘蛛看成一个点,这个点离墙角多远?离墙的两边多远?他不断地思考着,不断地计算 着,除了睡觉就是思考这个问题。

功夫不负有心人,笛卡尔在不断的摸索中找到一种新的思想:在互相垂直的两条直线下,一个点可以用到这两条直线的距离,也就是两个数来表示,这个点的位置就被确定。通过这个方法就可以用数形结合的方式将代数与几何的桥梁联起来了。

现在我们看坐标系很简单,但在当时的社会可以说是人类重大发现,很多数学家沿着这条思路前进,不断的促进数学发展,最终建立了解析几何学。

1637年,笛卡尔发表了他的著作《方法论》,这本书共分三卷,第一卷讨论尺规作图;第二卷是曲线的性质;第三卷是立体和“超立体”的作图,但他实际是代数问题,探讨方程根的性质。

后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。

笛卡尔的《几何学》中心思想是建立起一种“普遍”的数学,把算术、代数、几何统一起来。他设想,把任何数学问题化为一个代数问题,在把任何代数问题归结到去解一个方程式。

为了实现上述的设想,笛卡尔从天文和地理的经纬制度出发,指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点,这样就可以用代数的方法研究曲线的性质,这就是解析几何的基本思想。

如平面解析几何的基本思想有两个要点:

一是在平面建立坐标系,一点的坐标与一组有序的实数对相对应;二是在平面上建立了坐标系后,平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。

因此,解析几何又称为坐标几何或卡氏几何,早先被叫作笛卡儿几何,是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。

直 白的说,解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题:一类是满足给定条件点的轨迹,通过坐标系建立它的方程;另一类是通过方程的讨论,研究方程所表示的曲线 性质。从这里我们就可以看到,运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决,而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。

在解析几何出现之前,几何与代数是彼此独立的两个分支。解析几何的建立第一次真正实现了几何与方法的结合,使形与数统一起来,这是数学发展史上的一次重大突破。同时解析几何的建立对于微积分的诞生有着不可估量的作用。

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